Projet de Recherche FILESMALL

FILtragE Stochastique de systèmes MAx-pLus Linéaires

Équipe : Systèmes Dynamiques et Optimisation

Labellisation :  EMC2

Durée : 40 mois (1er/09/2019 - 31/12/2022)

Financement : RFI Atlanstic 2020

Personnels impliqués du LARIS : Mehdi Lhommeau, Laurent Hardouin, Guilherme Espindola Winck (doctorant)

Partenaires du projet : Rafael Santos Mendes (DCA/FEEC, Université de Campinas)

Résumé et objectifs

La théorie des systèmes dynamiques à événements discrets s’est constituée ces dernières années à partir de l’étude des systèmes de production, réseaux de transports, systèmes informatiques… Elle s’intéresse à des problèmes d’évaluation de performance (calcul de taux de production, de débit), à des questions de vérification et de synthèse de commande (nécessité de satisfaire certaines contraintes logiques, comme l’absence de blocage ou l’exclusion mutuelle, la poursuite d’une trajectoire de consigne…), ainsi qu’à des problèmes d’optimisation (ex: nombre optimal de processeurs ou de machines pour réaliser une tâche donnée).

Le point commun des systèmes étudiés est la présence de phénomènes de synchronisation, saturation ou concurrence liés à l’occurrence d’événements (arrivée d’un client, interruption d’une tâche…) qui semblent interdire l’emploi des outils familiers à l’automaticien (équations différentielles, équations récurrentes…).

Depuis plusieurs années l’équipe SDO du LARIS s’intéresse à l’étude de ces systèmes dans le cadre théorique de l’algèbre max-plus [1]. De nombreux problèmes fondamentaux ont été étudiés, citons par exemple le problème de la commande avec modèle de référence [3], la synthèse de contrôleur robuste [4], le rejet de perturbation [5]…. 

Plus récemment, nous nous sommes intéressés au problème du filtrage des systèmes max-plus linéaires. L’objectif est d’être capable d’estimer l’état du système connaissant une suite d’observations. C’est un enjeu majeur ; en effet, dans beaucoup d’applications, l’état du système ne peut pas être complètement connu, parce que certaines variables d’états ne sont pas accessibles à la mesure ou ne le sont que partiellement, et que d’inévitables erreurs de mesures, ou bruit de mesure, ou incertitude sur le système, interviennent. 

La théorie de l’estimation montre que toute l’information pour estimer l’état du système est contenue dans la densité de probabilité a posteriori de cet état. Pour répondre à cet objectif, lors de travaux préliminaires, nous avons proposé une méthode de filtrage stochastique pour les systèmes max-plus linéaires soumis à des perturbations bornées [2]. Ces premiers travaux sur filtrage stochastique nous ont permis de cerner les principaux verrous à lever afin de fournir un cadre satisfaisant pour le filtrage des systèmes max-plus linéaires. 

L’objectif de ce projet est de réinterpréter le problème du filtrage pour les systèmes max-plus linéaires. 

Pour arriver à notre objectif, nous proposons de suivre, sur les 3 ans de la thèse, les étapes qui suivent :

• réinterpréter le problème du filtrage et de l’estimation afin de proposer un cadre théorique complet pour le filtrage des systèmes max-plus. On souhaite, notamment, obtenir des méthodes constructives numériquement ;
• définir des critères corrélés à l’erreur d’estimation les plus pertinents possibles par rapport au cadre théorique que l’on aura défini ;
• développer des algorithmes d’optimisation pour les différents critères proposés ;
• étudier le calcul de l’espérance mathématique de matrices composées de variables aléatoires max-plus non-bornées.

Cette thèse est propice à la publication d’articles majeurs dans le domaine de la commande des systèmes max-plus. Dès la première année, nous visons des publications dans différentes conférences internationales (IFAC WORLD CONGRESS, WODES 2020, CDC 2020).

Bibliographie

[1] F. Baccelli, G. Cohen, G. J. Olsder, and J. P. Quadrat, “Synchronization and Linearity. An Algebra for Discrete Event Systems”. New York: John Wiley & Sons, 1992.

[2] R. Santos-Mendes, L. Hardouin and M. Lhommeau, "Stochastic Filtering of Max-plus Linear Systems with Bounded Disturbances", IEEE Transactions on Automatic Control, Volume 64(9), 2019

[3] B. Cottenceau, L. Hardouin, J.-L. Boimond, and J.-L. Ferrier, “Synthesis of Greatest Linear Feedback for TEG in Dioid”, IEEE Trans. On Automatic Control, vol. 44(6), pp. 1258–1262, 1999.

[4] M. Lhommeau, L. Hardouin, B. Cottenceau, and L. Jaulin, “Interval analysis and dioid: application to robust controller design for timed event graphs”, Automatica, vol. 40, no. 11, pp. 1923–1930, 2004.

[5] Y. Shang, L. Hardouin, M. Lhommeau, and C. A. Maia, “An integrated control strategy to solve the disturbance decoupling problem for max-plus linear systems with applications to a high throughput screening system”, Automatica , vol. 63, pp. 338–348, 2016.