Projet de Recherche SMax+

Systèmes Max-Plus Cycliques (non-stationnaires)

Équipe : Systèmes Dynamiques et Optimisation

Labellisation : aucune

Durée : 1 an (2018 - 2019)

Financement : RFI Atlanstic 2020

Personnels impliqués du LARIS : Bertrand Cottenceau, Laurent Hardouin

Partenaires du projet : Jörg Raisch (TU Berlin)

Description

Les systèmes max-plus regroupent des familles de systèmes à événements discrets temporisés pour lesquels l'évolution de l'état peut être décrite par des équations récurrentes sur l'algèbre max-plus. Cela concerne par exemple des systèmes de production manufacturière où les phénomènes de synchronisation dominent (assemblage, rendez-vous), mais également certains réseaux de communication (« network calculus ») ou des réseaux de transports (bus, train) où les correspondances génèrent des phénomènes de synchronisation.

Depuis quelques années, on s'intéresse également à des systèmes où des phénomènes de groupement/dégroupement apparaissent [5], ainsi que des phénomènes de synchronisation partielle [4]. Ces phénomènes correspondent par exemple à la palettisation dans des systèmes manufacturiers ou encore au contrôle de trafic au moyen de feux de signalisation. Sur le plan de la dynamique, les systèmes obtenus sont alors plus riches que les systèmes max-plus traditionnellement considérés. La principale différence étant qu'il s'agit alors de systèmes max-plus non-stationnaires : leur comportement est dépendant du temps voire des événements survenus. Néanmoins, leur comportement peut encore être décrit au moyen de fonctions de transferts cycliques. La réponse du système n’est pas stationnaire mais elle se répète avec une cyclicité événementielle et  une cyclicité temporelle, d’où l’appellation.

Les travaux présentés dans [5] ont  montré qu'il est possible de décrire certains  systèmes max-plus non stationnaires cycliques au moyen de séries formelles constituées d'un nombre fini d'opérateurs élémentaires. C'est le cas par exemple d'une sous-classe des réseaux de Petri appelée Graphes d’Evénements Temporisés Valués Equilibrés (Weight-Balanced Timed Event Graphs). Leur point commun avec les systèmes max-plus stationnaires est qu'ils peuvent se représenter au moyen de séries rationnelles avec une seule étoile de Kleene. Autrement dit, ces travaux restent dans la lignée des travaux de l'équipe Max-Plus (Cohen, Gaubert, Quadrat) de l'INRIA qui avait montré comment les systèmes max-plus stationnaires  pouvaient se ramener à des séries formelles en deux opérateurs gamma et delta. D'ailleurs, pour les systèmes max-plus stationnaires, une librairie de calcul en C++ a été développée au sein de l'équipe SDO du Laris  (librairie MinMaxGD). Cette librairie est indispensable pour mener à bien le calcul de certaines lois de commandes (feedback, précompensateur, ou à base d'observateur) sur des systèmes max-plus.

S'agissant des systèmes max-plus non-stationnaires cycliques, la principale difficulté réside dans le fait que les algorithmes connus pour manipuler les systèmes max-plus ne s'étendent pas immédiatement. Même si les travaux menés conjointement avec TU Berlin [1][2][3][4] ont permis de mieux comprendre la manipulation des séries formelles pour les systèmes max-plus cycliques, il reste encore beaucoup de travail de développement pour disposer d'une librairie de calcul comparable à la librairie MinMaxGD.

Ce projet a donc pour objectif de développer un tel outil de calcul pour les systèmes max-plus cycliques. La mise au point de cette librairie de calcul nécessitera de mener  des travaux conjointement avec TU Berlin et d'organiser des séjours de travail à Angers ou Berlin. L'achat d'ordinateurs type PC performants pour le calcul serait également un atout pour mener à bien la mission.

Bibliographie

[1] J. Trunk, B. Cottenceau, L. Hardouin, J. Raisch, "Output Reference Control for Weight-Balanced Timed Event Graphs", CDC'17, Melbourne, Australia, December 2017.

[2] J. Trunk, B. Cottenceau, L. Hardouin, J. Raisch, "Model Decomposition of Weight-Balanced Timed Event Graphs in Dioids: Application to Control Synthesis" , IFAC World Congress, Toulouse, France, July 2017.

[3] B. Cottenceau, L. Hardouin, J. Trunk, "Weight-Balanced Timed Event Graphs to Model Periodic Phenomena in Manufacturing Systems" , IEEE TASE, 14(4):1731-1742, October 2017.

[4] X. David-Henriet, J. Raisch, L. Hardouin, B. Cottenceau, "Modeling and Control for Max-Plus Systems with Partial Synchronization",WODES 2014, Paris, May 2014.

[5] B. Cottenceau, L. Hardouin, J.L. Boimond, "Modeling and Control of Weight-Balanced Timed Event Graphs in Dioids",IEEE Trans. Automatic Control,  59(5):1219-1231, May 2014.